几何光学与波动光学

在点光源的照射下，在不透明的物体背后出现清晰的影子。影子的形状与光源为中心发出的直线构成的几何投影形状一致（如图1-1）。如果在一个暗箱的前壁上开一个小孔，由物体上各点发出的光线沿直线通过小孔，在暗箱的后壁上形成一个倒立的像（如图1-2），以上两个例子都是表明光线沿直线传播的基本事实。
（2） 光的独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交，对每一光线的独立传播不发生影响。
房屋里点着两盏灯，经验告诉我们，我们看到每盏灯的光并不因另一盏灯是否存在而受到影响。这种现象告诉我们，当两盏灯发出的光线在空间交迭时，它的传播互不干扰，这就是所谓光的独立传播定律。
（3） 光的反射和折射定律
设媒质1、2都是透明的，均匀和各向同性的，且它们的分界面是平面（如果分界面不是平面，但曲率不太大时以下结论仍适用）。当光线由媒质1射到分界面上时，在一般情况下被分为反射光线和折射光线（如图1-3），入射光线与分界面的法线构成的平面称为入射面。分界面的法线与入射光线、反射光线、折射光线所构成的角i1,i1',i2'分别叫做入射角、反射角和折射角，实验表明
(i) 反射线和入射线都在入射面内
(ii)反射角等于入射角
　　　　　　　　　　　　　　i1=i1'
(iii)入射角与折射角正弦之比与入射角无关，是一个与媒质和光的波长有关的常数.
　　　　　　　　　　sini1/sini2=n12(常数)
比例常数n12 称为媒质2相对与媒质1的折射率。上式也可称为斯涅耳定律。
任何媒质相对与真空的折射率称为该媒质的绝对折射率。它等于光在真空中的速度c与光在媒质中的速度v之比，即
　　　　　　　　　　　　　　　n=c/v
n是媒质的绝对折射率。实验表明，两种媒质1、2的相对折射率等于他们各自的绝对折射率n1与n2之比
　　　　　　　　　　　　　　n12=n2/n1
从而斯涅耳定律还可以表示为
　　　　　　　　　　　　　n1sini1=n2sini2
2)光的可逆性原理
　　从几何光学的基本定律不难看出，如果光线逆着反射线方向入射，则这时的反射线将逆着原来的入射方向传播；如果光线逆着折射线方向由媒质2入射，则射入媒质1的折射光线也将逆着原来的入射线方向传播（如图1-4）也就是说当光线的方向返转时，光将逆着同一路径传播。这个带有普遍性的结论称为光的可逆性原理。

3) 费马原理
　　光在均匀媒质里是沿直线传播的。光射到两种媒质界面时，按反射定律和折射定律发生折射和反射，此时光的路径为折线。在非均匀媒质中，光线被连续的折射，其路径为曲线。在上述各种情况中，光从一点传播到另一点是否遵守某一普遍规律呢？为了说明着一点，首先定义一个叫光程的概念。
　　若光在折射率为n 的媒质中传播的路程为s ，我们便把折射率与路程的乘积ns定义为光在该媒质中的光程长度，简称光程。
若光在该媒质中的速度为v，传播的时间为t ，则
　　　　　　　　　　　　s=vt=ct/n
　　　　　　　　　　　　则 ns=ct
可见，光程可理解为在相同时间内，光在真空中传播的路程。若媒质折射率是连续变化的，则
　　　　　　　　　　　　L=∫ＡＢ nds
1679年费马指出：光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。也就是说，光沿光程值为最小，最大或恒定的路程传播。这是几何光学中的一个最普遍的基本原理，称为费马原理。其数学表达式如下：
　　　　　　δL=∫ＡＢ nds=极值(极大值,极小值或恒定值 )
δ表示变分符号，粗浅的讲，所谓变分就是函数的微分。在一般情况下，实际光程大多是取极小值，费马本人最初提出的也是最短光程。
　　根据直线是两点间最短距离这一几何公理，从费马原理可以直接推出光在均匀介质（或真空）中沿直线传播的定律。此外，可以证明：光通过两种不同介质的分界时，所遵从的反射定律和折射定律也是费马原理的必然结果。
2．波动光学
2.1波动光学发展史
　　从十七世纪开始，就发现有与光的直线传播不完全符合的事实。意大利人格里马第（1618-1663年）首先观察到光的衍射现象，他发现在点光源的照射下，一根直竿形成的影子要比假定光以直线传播所应有的宽度稍大一些，也就是说光并不严格按直线传播，而会绕过障碍物前进。接着，1672 年 -1675年间胡克（1635-1703年）也观察到衍射现象，并且和玻意耳（1627-1691）独立的研究了薄膜所产生的彩色干涉条纹，所有这些都是光的波动理论的萌芽。
十七世纪下半叶，牛顿（1642-1727年）和惠更斯（1629-1695年）等把光的研究引向进一步发展的道路。牛顿的白光实验以及牛顿圈的发现，使光学由几何光学进入了波动光学。惠更斯最早比较明确的提出了光的波动说。在《论光》（1690年）一书中，他认为光的运动不是物质微粒的运动而是媒质的运动即波动，运用波动说，他很好的解释了光的反射，折射以及方解石的双折射现象。
　　19世纪的光学是由英国医生托马斯.杨以复兴波动说的论文揭开序幕的。1801年，杨向皇家学会宣读了关于薄片颜色的论文，文中正式将干涉原理引入到光学之中，并且用这一原理解释薄片上的颜色和条纹面的衍射。在这篇论文中，杨还系统提出了波动光学的基本原理，提出了光波长的概念，并给出了测定结果。正是由于光波长太短，以至遇障碍物拐弯能力不大，这也是人们很难观察到这类现象的原因。又于1803年发表了"物理光学的实验和计算"，对双缝干涉现象进一步作出了解释。在1807年出版的《自然哲学讲义》中，杨系统阐述了他提出的波动光学的基本原理。
　　几乎独立的提出的波动说的还有法国物理学家菲涅尔（1788-1827年）。1815年，他向科学院提交了第一篇光学论文，文中仔细研究了光的衍射现象，并提出了光的干涉原理。后来，菲涅尔与杨齐心协力，在波动学说基础上的光学实验大量涌现，使19世纪在波动光学方面取得了重大发展。
2.2 有关光的衍射现象
　　光的衍射是光的波动性的重要标志之一，光在传播过程中所呈现的衍射现象，进一步揭示了光的波动本性。同时衍射也是讨论现代光学问题的基础。
波在传播中表现出衍射现象，既不沿直线传播而向各方向绕射的现象。窗户内外的人，虽然彼此不相见，都能听到对方的说话声，这说明声波（机械波）能饶过窗户边缘传播。水波也能绕过水面上的障碍物传播。无线电波能绕过山的障碍，使山区也能接受到电台的广播。这些现象表明，当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射。
　　光的传播看来是沿直线进行的，遇到不透明的障碍物时，会投射出清晰的影子，粗看起来，衍射和直线传播似乎是彼此矛盾的现象。
　　光的干涉现象是几束光相互叠加的结果。实际上即使是单独的一束光投射在屏上，经过精密的观察，也有明暗条纹花样出现。例如把杨氏干涉实验装置中光阑上两个小孔之一遮蔽，使点光源发出的光通过单孔照射到屏上，仔细观察时，可看到屏上的明亮区域比根据光的直线传播所估计的要大得多，而且还出现明暗不均匀分布的照度。光通过狭缝，甚至经过任何物体的边缘，在不同 程度上都有类似的情况。把一条金属细线（作为对光的障碍物）放在屏的前面，在"影"的中央应该是最暗的地方，实际观察到的却是亮的，这种光线绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀的分布的现象叫做光的衍射。
　　光的衍射现象的发现，与光的直线传播现象表现上是矛盾的，如果不能以波动观点对这两点作统一的解释，就难以确立光的波动性概念。
　　事实上，机械波也有直线传播的现象。超声波就具有明显的方向性。普通声波遇到巨大的障碍物时，也会投射清楚的影子，例如在高大墙壁后面就听不到前面的的声响。在海港防波堤里面，巨大的海浪也不能到达。微波一般也同样是以直线传播的。衍射现象的出现与否，主要决定于障碍物线度和波长大小的对比。只有在障碍物线度和波长可以比拟时，衍射现象才明显的表现出来。声波的波长可达几十米，无线电波的波长可达几百米，它们遇到的障碍物通常总远小于波长，因而在传播途中可以绕过这些障碍物，到达不同的角度。一旦遇到巨大的障碍物时，直线传播才比较明显。超声波的波长数量级小的只有几毫米，微波波长的数量级也与此类似，通常遇到的障碍物都远较此为大，因而它们一般都可以看作是直线传播。
　　光波波长约为3.9-7.6×10 cm ,一般的障碍物或孔隙都远大于此，因而通常都显示出光的直线传播现象。一旦遇到与波长差不多数量级的障碍物或孔隙时，衍射现象就变的显著起来了。
3．几何光学与波动光学的关系
　　与可见光传播相关联的电磁场，其特点是振动非常之快（频率数量级为10 秒），或者说是波长非常短（数量级为10 －　厘米）。因此可以预期，在这种情况下，完全忽略波长的有限大小，可以得到光传播定律的良好一级近似。人们发现，对很多光学问题而言，这样处理是完全适合的。在光学中，可以忽略波长，即相当于λ0→0 极限情况的这一分支，通常称为几何光学，因为在这种近似处理下，光学定律可以用几何学的语言来表述。下面我们来讨论光的直线传播和衍射的关系。
　　衍射现象的一个最简单的典型例子-单狭缝的夫琅和费衍射。它包含着衍射现象的许多主要特征。如图（2-1）所示

来自光源S的光（例如激光）经望远镜系统构成的扩束器L1扩束直接投射到一狭缝上。在狭缝后面放置一透镜L2,那么在透镜L2的焦平面上放置的屏幕Ｆ＇Ｆ上将产生明暗交替的衍射花样。其特点是在中央具有一特别明亮的亮条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹。相邻的亮条纹之间有一暗条纹。如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧亮条纹为等宽的，而中央亮条纹的宽度为其它条纹的两倍。我们将亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度。中央亮条纹和其它亮条纹的角宽度不相等。中央亮条纹的角度等于 2λ/b(b 为缝宽) ，即等于其它亮条纹角宽度的二倍。那么中央亮纹的半角宽度 Δθ=λ/b，正好等于其它亮纹的角宽度。
　　由于中央亮斑集中了大部分光能，所以它的半角宽度 的大小可作为衍射效应强弱的量度。式子Δθ=λ/b， 告诉我们，对给定的波长，Δθ与缝宽b成反比，即在波前上对光束限制越大，衍射场越弥散，衍射斑铺开的越宽；反之当缝宽很大，光束几乎自由传播时，Δθ→0,这表明衍射场基本上集中在沿直线传播的方向上，在透镜焦平面上衍射斑收缩为几何光学象点。式子Δθ=λ/b还告诉我们，在保持缝宽不变的条件下，Δθ与λ成正比，波长越长，衍射效应越显著；波长越短，衍射效应越可忽略。所以说几何光学是b>>λ时的一种近似，或说λ→0的近似。除了直线传播定律之外，作为几何光学基础的另外两条定律-反射定律和折射定律，也都只在入很小的条件下才近似成立，所以几何光学原理的适用范围是有限度的，在必要的时候需要用更严格的波动理论来代替它。不过由于几何光学处理问题的方法要简单的多，并且它对各种光学仪器中遇到的许多实际问题已足够精确，所以几何光学并不失为各种光学仪器的重要理论基础。

参考文献:
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